Risque bayésien Risque intégré minimal sur tous les Estimateurs de \(g(\theta)\). $$R_\text{Bayes}=\inf\{R_T|T\text{ estimateur de }g(\theta)\}$$

• tout estimateur atteignant le risque bayésien est appelé estimateur bayésien
    
• si on a l'unicité d'un tel estimateur, alors il est admissible
• dans le cas du Risque quadratique, on a : $$R_\text{Bayes}={\Bbb E}[\lvert{\Bbb E}[g(\theta)|\omega]-g(\theta)\rvert^2]=V(g(\theta)|\omega)$$(Variance conditionnelle)
    
• dans le cas général, on peut passer par une Domination \({\Bbb P}\ll\pi\otimes m\) : $$R_T=\int_\Omega\left(\int_\Theta L_\theta(\omega) L(T(\omega),\theta)\pi(d\theta)\right) m(d\omega)\implies T_\pi(\omega)\in\arg\min_{t\in{\Bbb R}^d}\int_\Theta L(t,g(\theta))\pi_\omega(d\theta)$$

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la formule du risque bayésien.
Verso: $$r^*(\pi)=\inf\{r_{T^\prime}(\pi)\mid T^\prime\text{ estimateur de }g(\theta)\}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END